Curiosidades del infinito: ¿Por que 1 es igual a 0.999....?

El infinito, es uno de los conceptos matemáticos mas extravagantes que las Matemáticas tienen. Por siglos los matemáticos han debatido sobre el significado del infinito. Gran parte de la historia de las Matemáticas puede verse como una lucha feroz por dominar a la bestia del infinito y desentrañar sus misterios, a riesgo de perderse en sus intrincados caminos y terminar en la zona de la locura, tal como le paso a Cantor.

Ahondaremos en el mundo del infinito,para descubrir gradualmente sus complejas implicaciones, nos aventuraremos en las profundidades de esta selva lentamente, pero con paso firme.

Ya en los cursos de aritmética básica, se nos ha hablado de la existencia de una equivalencia entre los números periódicos decimales y los quebrados. Así por ejemplo, 5.6 es lo mismo que 56/10

¿Pero y si queremos saber cual es el quebrado de un numero decimal infinito y periódico?

Bueno, si quisiéramos convertir 0.344344344... por dar un ejemplo, simplemente multiplicamos por 1000 (nótese que son 3 ceros, el mismo numero de digitos que tiene el patrón) tomamos la parte decimal y la asociamos a una variable:

x=0.344344344...

Multiplicando por 1000 y restando x :

Hasta aquí todo bien, pudimos obtener la equivalencia entre el decimal y el quebrado, sin embargo, veamos lo que pasa si ahora queremos saber cual es el quebrado de 0.999...

x=0.9999...

Puede parecer que hay un error, pero no es así. Es resultado de aceptar la idea del infinito. Veamos que sucede:

Numero=1 Decimal=0.9 Diferencia=1-0.9=0.1

Numero=1 Decimal=0.99 Diferencia=1-0.99=0.01

Numero=1 Decimal=0.999 Diferencia=1-0.999=0.001

Numero=1 Decimal=0.9999 Diferencia=1-0.9999=0.0001

Vemos que la diferencia se hace mas pequeña a medida que agregamos mas nueves. Hablando en términos muy simples, la idea del infinito implica que podemos agregar tantos nueves como queramos y por tanto la diferencia se hace tan pequeña como deseemos.

Por tanto en el “infinito” 1=0.999...